[BS - S 1235 / BA - S 1244]
B.Sc. (CBCS) DEGREE EXAMINATION
Second Semester Part II – Mathematics:
Paper-II - SOLID GEOMETRY
(Common with B.A./B.Sc.)
(Effective from 2016-2017 admitted batch)
Time: Three hours Maximum: 75 marks PART A – (5 x 5 = 25 marks) Answer any FIVE from the following eight questions..
1. Find the equation of the plane passing through the points (-1,2, -2), (1,1,2), (0,1,1). Does this plane pass through (-1,1,0)? (-1,2, -2), (1,1,2), (0,1,1) బిందువుల గుండా పో యే సమీకరణం కనుక్కోండి. ఈ తలం (-1,1,0) గుండా పోతుందా?
2.
Find the locus of the point whose distance from the origin is three times its distance from the plane 2x + y + 2 = 3. ఒక బిందువుకు మూలబిందువు నుంచి ఉన్న దూరము ఆ బిందువు నుంచి 2x - y + 22 = 3 తలమునకు ఉన్న దూరమునకు మూడు రెట్లయిన ఆ బిందువు కనుక్కోండి.
3. Prove that the lines ,t = "3 = 43, 7,7 = = = --- are coplanar and find the equation to the plane containing the lines. 1-1 = y+7 = 7-3, 4-2 = x-3 = 1 4 రేఖలు సతలీయాలని చూపండి మరియు వాటి గుండా తలము కనుక్కోండి.
7-3
- 1y-2
x
-
z-4
2
2
4.
Find the equation of the plane.containing the line
1; _x = 0 - and parallel to the line * + 1 = 1; y = 0. * +: =1; x = 0 రేఖను కలిగి ఉండి, * + 1 = 1; y = 0 రేఖకు సమాంతరంగా ఉండే తలం యొక్క సమీకరణం కనుక్కోండి. Examine the nature of intersection of the planes x + y + z+ 6 = 0, x + 2y + 2 + 6 = 0, x + 3y + 3x + 6 = 0. x + y + z+6= 0, x + 2y + 2 + 6 = 0, x+ 3y + 37 + 6 = 0 తలాల ఛేదనాలు పరీక్షించండి.
5.
|
Find the Points of intersection of the line *+3 = 9+4 = 2-8 with the sphere x2 + y* + z2 + 2x - 10y = 23. x2 + y2 + z2 + 2x - 10y = 23 గోళమును x+3 = Y+4 = 7-8 అనే రేఖ ఖండించిన ఖండన బిందువులు కనుక్కోండి.
7.
Find the enveloping cone of the sphere x2 + y + . z' + 2x - 4y = 0 with its vertex at (1,1,1). " (1,1,1) వద్ద శీర్షము ఉండి, x2 + y* + z2 + 2x - 4y = 0
అను గోళమును స్పర్శశంఖువు సమీకరణము కనుక్కోండి.
8.
9.
Find the equation to the cylinder whose generator's are parallel to = = = = ; and guiding curve x2 + y2 = 16; Z = 0. ఉత్పాదకాలను = = ) = ; కి సమాంతరంగా ఉత్పాదకాలను కలిగి, భూవక్రమును x2 + y2 = 16; 2 = 0 గా గలిగిన స్థూపం సమీకరణము కనుక్కోండి. -
PART B - (5 x 10 = 50 marks) Answer the following (one from each unit)
- UNIT -
I N (a) Obtain the equation to the plane containing
(0,4,3) and the line through the points (-1, -5, -3); (-2, -2,1). Hence. show that (0, 4, 3) (-1, -5, -3), (-2, -2,1) and (1,1, -1) are coplanar. . (-1, -5, -3); (-2, -2, 1) బిందువుల గుండా పోయే రేఖను మరియు (0, 4, 3) బిందువుగా కల్గి వున్న తలానికి సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. దాని నుంచి (0.4,3) (-1, -5, - 3), (-2, -2, 1) మరియు (1,1, -1) బిందువులు సతలీయాలని చూపండి.
[BS - S 1235/ BA - S1244]
(b) Prove that the equation 2x4 - 6y2 - 1272 +
Tama+2zX + xy = 0 a pair of planes, and find the angle between them. 2x- - 6y- - 1272 + 18 ya + 2zX + xy = 0 సమీకరణము ఒక తలయుగ్మాన్ని సూచిస్తుందని చూపి, వాటి మధ్య లఘు కోణమును కనుక్కోండి.
UNIT - II
H
A
X-1
y-2
-3
23.
10. (a) Find the image of the line H-1 = " 2 = 1+: in
- the plane 3x - 3y + 107 - 26 = 0
3x - 3y + 102 – 26 = 0 తలములో . Y1 = Y2 = 2+3 రేఖ యొక్క ప్రతిబింబమును కనుక్కోండి.
Or (b) Prove that the lines **1 = 9+1 = 21. and
x + 2y +37-8 = 0; 2x + 3y + 47-11 = 0 are intersecting and find the point of their intersection. Find also the equation to the plane containing them. x+1 = y+1 = 1+1 మరియు x + 2y + 32 - 8 = 0; 2x + 3y + 47 - 11 = 0 అను రేఖలు ఖండించుకుంటాయని ఋజువు చేయండి. మరియు ఖండన బిందువును కనుక్కోండి. ఇంకా ఆ రేఖలను కల్గి ఉన్న తలాన్ని కనుక్కోండి.
UNIT – III
11. (a) A sphere of constant radius 2k passes through .
the origin and intersects the axes in A, B, C. Prove that the locus of the centroid of the tetrahedron OABC is the sphere x2 + y2 + z2 = K2.
2k స్థిర వ్యాసార్ధంగా గల గోళము మూలబిందువు గుండా పోతూ లక్ష్యాలను A, B, C ల వద్ద ఖండిస్తుంది. OABC చతుర్ముఖి కేంద్రభాసము యొక్క బిందుపథము x2 + y2 + z2 = K2 గోళం అని చూపండి.
Or
(b) Find the equation of the sphere which has its
centre at the origin and touches the line
x+1
2
Z+3
2
x+1 = 7=2 = 1+: సూచించే సరళరేఖను " స్పృశిస్తూ
మూలకేంద్రంగా గల గోళం సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
UNIT - IV
12. (a) (i)
Define coaxal system of spheres.
సహతల గోళ సరణిని నిర్వచించండి.
-
(ii) Find the limiting points of the coaxal
system defined by spheres x2 + y + z* + 4x + 2y + 27 + 6 = 0 and x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 27 + 6 = 0. x2 + y + z2 + 4x + 2y + 27+ 6 = 0 మరియు
x2 + y2 + 72 + 2x - 4y - 22 + 6 = 0 సమీకర ణాలు సూచించే గోళంతో నిర్దిష్టమయ్యే సహతల గోళ సరణి అవధి బిందువులు కనుక్కోండి.
Or
(b) Find the angle between the lines of
intersection of the plane x - 3y + 7 = 0 and the cone x2 - 5y2 + z< = 0.
x- - 5ye +z2 = 0 అను శంఖువును మరియు
x -3y + 2 = 0 అను తలము ఖండన రేఖాయుగ్మ మధ్య కోణము కనుక్కోండి..
UNIT - V . . 13. (a) Find the equation of the quadric cone which
touches the three coordinate planes and the planes x + y + 7 = 0 and 2x - 3y + 7 = 0. నిరూపక తలములను మరియు x + y + 7 = 0 మరియు 2x - 3y + 2 = 0 అను తలములను స్పర్శించే వార్షిక శంఖువు సమీకరణమును కనుక్కోండి..
Or
(b) (i) Define cylinder -
స్తూపకమును నిర్వచించండి. (ii) Find the . equation of the enveloping
cylinder of the sphere x2 + y + z2 - 2x + 4y-1 = 0, "having its generators parallel to the line x = y =z. జనకరేఖలు X.= y = 7 అను- రేఖకు సమాంతరంగా
ఉంటూ, x2 + y +z2 - 2x + 4y-1 = 0 అను గోళమునకు స్పర్శ స్తూపక సమీకరణము కనుక్కోండి.
