[BS - S 3108/BA-S 3108]
B.Sc. (CBCS) DEGREE EXAMINATION.
Fifth Semester
Part II - Mathematics
Paper VI — LINEAR ALGEBRA
(Common for B.A. & B.Sc.)
(Effective from 2015-2016 admitted batch)
Time: Three hours Maximum: 75 marks
SECTION A — (5 x 5 = 25 marks)
Answer any FIVE questions.
Each question carries 5 marks.
1. (a) Define a vector space.
సదిశాంతరాళంను నిర్వచించండి.
(b) Show that the vectors (2, 1,4), (1, - 1, 2), (3,1, - 2) form a basis for R3.
(2, 1,4), (1; – 1,2), (3,1, - 2) సదిశలు R3 కి ప్రాతిపదిక అవుతాయని చూపండి.
2. Define linear span. Prove that L(S) is a subspace of V(F).
ఋజు వితప్తిని నిర్వచించి, సదిశాంతరాళం V(F) కు L(S) ఒక ఉపాంతరాళం అని నిరూపించండి.
3. Show that the vectors (1, 1, 0, 0), (0, 1, -1, 0) (0, 0, 0, 3) in R4 are linearly independent.
R4 లో (1, 1, 0, 0), (0, 1, -1, 0) (0, 0, 0, 3) లు ఋజు స్వాతంత్య్రమని చూపండి.
4. Define the Kernel of a linear transformation. Prove that it is a subspace of V(F).
ఒక ఋజుపరివర్తన యొక్క కెర్నలను నిర్వచించండి అది V(F) యొక్క ఉపాంతరాళమని నిరూపించండి.
5. Determine whether or not the following vectors form a basis of R3 , (1, 1,2), (1, 2, 5), (5, 3, 4).
R3 లో (1, 1,2), (1, 2, 5), (5, 3, 4) సదిశలు ఆధారాన్ని ఏర్పరచునో లేదో కనుక్కోండి.
6. Define Range and Null space of linear transformation T. Also derive Rank and Nullity of T.
ఋజు పరివర్తనం T యొక్క వ్యాప్తి, శూన్యాంతరాళంను నిర్వచించండి. అదేవిధంగా కోటి మరియు పరివర్తనా శూన్యత T ను నిర్వచించండి.
7. Show that S = {(3/5,0,4/5), (-4/5,0,3/5), (0,1,0)} is an orthonormal set in R3.
S= {(3/5,0,4/5), (-4/5,0,3/5), (0,1,0)} అనునది R3 లో అభిలంబ సమితి అని చూపండి.
8. State and prove Schwarz inequality.
స్క్వార్జ్ అసమానతను ప్రవచించి నిరూపించండి.
SECTION B - (5 x 10 = 50 marks)
Answer ALL questions.
Each question carries 10 marks.
9. (a) Let W be a subspace of a finite dimensional vector space V(F), then prove that dim(V/W) = dimV - dimW.
V(F) పరిమిత పరిమాణ సదిశాంతరాళానికి W ఉపాంతరాళం అయితే dim (V/W) = dim V - dimW
అని నిరూపించండి.
Or
(b) If W1 and W2 are sub-spaces of a vector space V(F) then W1 + W2 is a subspace of V(F) then prove that L(W1UW2 ) =W1 + W2.
సదిశాంతరాళము V(F) కు W1 ,W2 లు ఉపాంతరాళములు అయిన V(F)కు W1 + W2 ఉపాంతరాళమని మరియు L(W1UW2 ) =W1 + W2 అని నిరూపించండి.
10. (a) If W1 and W2 are two subspace of a vector space V(F) then prove that dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 - dim (W1 ∩ W2)
W1, W2 లు ఒక పరిమిత పరిమాణ సదిశాంతరాళము V(F) యొక్క రెండు ఉపాంతరాళములు అయితే dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 - dim (W1 ∩ W2) అని చూపండి.
(b) Let V(F) be a finite dimensional vector space of dimensional n and W be a subspace of V. Then prove that W is a finite dimensional vector space with dim W≤n.
పరిమిత పరిమాణపు సదిశాంతరాళం V(F) నకు పరిమాణం n అనుకోండి. V నకు W ఒక ఉపాంతరాళం. W కూడా dimW sn అగునట్లు పరిమిత సదిశాంతరాళము.
11. (a) (i) The mapping T: V3(R) ⟶ V2R is defined by T(x,y,z) = (x – y, x + z). Show that T is a linear transformation.
T: V3(R) ⟶ V2R ప్రమేయాన్ని T(x,y,z) = (x – y, x + z) గా నిర్వచింపబడింది. T ఒక ఋజుపరివర్తనమని చూపండి.
(ii) The mapping T: V3(R) ⟶ V1(R) is defined by T(a, b, c) = a2 + b2 + c2, can T be a linear transformation.
T: V3(R) ⟶ V1(R) ప్రమేయం T(a, b,c) = a2 + b2 + c2 అని నిర్వచింపబడింది. T ఋజుపరివర్తనమవుతుందా?
Or
(b) State and prove Rank-Nullity theorem.
కోటి-శూన్యత సిద్ధాంతాన్ని ప్రవచించి నిరూపించండి.
12. (a) Solve 2x - y + 8z = 13, 3x + 4 y + 5z = 18 , 5x - 2y+7z = 20 by Gauss Jordan method.
2x + y + 82 = 13, 3x +4y + 5z = 18 , 5x - 2 y +7z = 20 సమీకరణాలను గాస్ జోర్డాన్ పద్ధతి ద్వారా కనుక్కోండి.
Or
(b) If
find two non-singular matrices P and Q such that I = PAQ and hence find A
-1.
అయితే పరిక్రియల ద్వారా P మరియు Q సాధారణ మాత్రికలుగా ఉంటూ I = PAQ రూపమునకు మారునని చూపి తద్వార A
-1 ను కనుక్కోండి.
13. (a) State and prove Bessel's inequality.
బెస్సల్స్ అసమానతను ప్రవచించి నిరూపించండి.
Or
(b) If B = {{2, 0, 1), (3, - 1, 5), (0, 4, 2)} is a basis of inner product space V(F), then find its orthonormal basis of V(F).
అంతర్లంభాంతరాళము V(F) కి ఆధారము B = {{2, 0, 1), (3, -1, 5), (0, 4, 2)} అయితే దీని నుండి V(F) కి లంబాభిలంబ ఆధారము కనుగొనుము.
